Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Analiza matematyczna II WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2012/2013 1. [8p.] a) Obliczyć całkę
x2 + y2 + z2dxdydz, V gdzie bryła V ograniczona jest powierzchnią x2 + y2 + z2 = z. Wykonać odpowiedni rysunek. [2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu. 2. [8p.] a) Obliczyć całkę
ex (1 - cos y) dx - ex (1 - sin y) dy K gdzie K jest brzegiem obszaru określonego nierównościami 0 x Ą i 0 y sin x zorientowanym dodatnio. [2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe
1 y x x xy
W = 1 - + i + + j - k y z z y2 z2 jest potencjalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. [8p.] a) Rozwiązać równanie 3xy - y = 3xy4 ln x. [2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie x + y xy - y = (x + y) ln x do równania o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedz uzasadnij odpowiednimi przekształceniami. 4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y - 3y + 2y = xex przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y (0) = 1. [2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno- rodnego rzędu n 4, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu całki szczególnej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj " 2 n " "