Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Algebra liniowa
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [7p.] a) Rozwiązać równanie macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1 1 3 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 0 2 1 · X = 1 -1 0 ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚
0 0 1 0 -1 1
[2p.] b) Dana jest macierz diagonalna nieosobliwa trójkątna dolna A stopnia 4 i macierz B
wymiaru 4×2. Podać jakiego wymiaru, o ile istniejÄ…, sÄ… macierze BT A i A-1BBT A. Odpowiedz

uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7p.] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
x1 + x2 - x3 = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x1 - x2 + x3 = 0
ôÅ‚
x2 + 3x3 = -6
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-3x1 + x3 = -5
[2p.] b) Podać po jednym przykÅ‚adzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 4, z
których jedna jest rzędu drugiego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedz
uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych wzglę-
dem płaszczyzny Ą o równaniu
Ä„ : 2x + y - z + 4 = 0
[2p.] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(1, 2, 0), B(2, 1, -1), C(-1, 0, -1) i
D(2, 1, 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] a) Wyznaczyć

"
4
-8 + 8 3i
Wynik zinterpretować na płaszczyz
nie zespolonej.
[5p.] b) Znalez
ć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część urojona v(x, y) = 2 ln(x2 + y2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Znalez
ć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace a
3s2 - 2s + 9
F (s) =
s3 - s2 + 4s - 4
wiedząc, że s = 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a funkcji f(t) = cos t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [4p.] Narysować na płaszczyz
nie zespolonej zbiór

4Ä„
z " C : |2iz + 4| < 6 '" Arg z
3