Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Algebra liniowa
WETI, kierunki EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Wiadomo, że
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 2
ïÅ‚ śł
B-1 · AT = 0 3 5 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 1
Znalez
ć takÄ… macierz X, aby speÅ‚niaÅ‚a ona równanie AT · X · B-1 = 2I.
[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 3 × 2 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: B2AT , AAT B-1, B-1ABT , (AAT )2 istnieją? Odpowiedz
uzasadnić.
2. [7p.] Rozwiązać nierówność


0 -1 -1 -1 2


x x x 0 1


1 2 x -1 1 < 3 - 6x2


1 2 0 1 1



2 1 1 1 0
3. [7p.] a) W zależności od parametru  podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z = 1
òÅ‚
2x + y + z = 
ôÅ‚
ół
x + y + z = 2
[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustalonÄ… liczbÄ… naturalnÄ…. Odpowiedz
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wykazać, że proste l1 i l2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2 + 4t
òÅ‚
x - 7 y - 2 z
l1 : y = -6t , t " R, i l2 : = =
ôÅ‚
-6 9 12
ół
z = -1 - 8t
są równoległe. Obliczyć odległość między nimi i wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której one
leżą.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5), C(3, 5, 9) i D(0, 1, 2) należą do jednej
płaszczyzny.
(i - 1)6
"
5. [4p.] a) Niech z = . Obliczyć |z| oraz Argz.
(1 + 3i)8
[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

dz
,
(z2 + 1)2
C
gdzie C jest okręgiem |z + i| = 1 zorientowanym dodatnio.
-s3 + 5s2 + 6s + 15
6. [7p.] a) Znalez
ć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace a F (s) = .
s4 + 2s3 + 5s2
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a funkcji potęgowej f(t) = tn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Znalez
ć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej
dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ïÅ‚ śł
A = 2 2 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -1 -1