Egzamin połówkowy z przedmiotów
 Matematyka elementarna i  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć f-1(x) oraz Df-1 )" Dg, gdzie Df-1 oznacza dziedzinę funkcji odwrotnej do
"

1 x - Ä„ x
f(x) = + cos , a Dg dziedzinÄ™ funkcji g(x) = .
4 4 log(2 - x)
2. [4p.] a) Obliczyć granicÄ™ ciÄ…gu lim (ln bn - an · cn), gdzie
n"
1-n2

2
" "
n2 - 1
n
an = 2n + 22n + 23n, bn = , cn = n - n2 - 5n + 7
n2 + 3
(n + 3)!
[2p.] b) Zbadać mototoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an = .
3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
| sin k|
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2
ôÅ‚
ôÅ‚ -1
ôÅ‚
ôÅ‚ x+1
1
ôÅ‚ - 2
ôÅ‚
òÅ‚
dla -1 < x < 0
-1
x+1
h(x) = 1 + 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - 3m-1 + 3-1 dla x = 0
32m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
"
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ół
arctg Ä„ - log3 x dla x > 0
3Ä„
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
4. [4p.] Wyznaczyć f (a), gdzie
"
3x
b
f(x) = (x) ,
"
"
parametr a jest rozwiązaniem równania x + 3 + x = 3, natomiast b otrzymamy obliczając
b = sin2 75ć% - cos2 75ć%
1
[2p.] b) WykorzystujÄ…c różniczkÄ™ zupeÅ‚nÄ… funkcji obliczyć przybliżonÄ… wartość " .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31,.98. . . . . . .
. . . .
xex
5. [4p.] Znalez
ć wszystkie asymptoty funkcji g(x) = .
x - 1
6. [4p.] a) Zbadać monotoniczność oraz wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji

3
h(x) = (x2 + x)2
w przedziale x " -2, 3 .
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochodną
funkcji y = arcctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wykorzystując wzór Maclaurina przybliżyć funkcję
f(x) = arc cos x
wielomianem trzeciego stopnia.