Egzamin połówkowy z przedmiotów
 Matematyka elementarna i  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć f-1(x) oraz Df-1 )" Dg, gdzie Df-1 oznacza dziedzinę funkcji odwrotnej do


Ä„
5
f(x) = sin x + + 5, a Dg dziedzinÄ™ funkcji g(x) = log5(5x - x2).
4

"
2. [4p.] a) Obliczyć granicÄ™ ciÄ…gu lim an · ln bn - cn , gdzie
n"
"

n+1
"
2n - 1 1-5n Ä„
n
"
an = 1 + 2n + 5-n, bn = , cn =
n
2n + 3 Ä„
[2p.] b) W oparciu o definicję granicy ciągu liczbowego pokazać, że liczba g = 3 jest granicą
6n + 1
ciÄ…gu an = .
+
. . . . . . . . . . .3. . . .2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
ôÅ‚
x · | cos k| dla x -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla -1 < x < 0
x
òÅ‚
1+x
1 + e
h(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
22m
ôÅ‚ - 2m+2 dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1
arcctg log x2 dla x > 0
e
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Ä„a
4. [4p.] Wyznaczyć f , gdzie
36
x
f(x) = tg(4b2x)
"
parametr a jest rozwiązaniem równania x + 1 = x - 5, natomiast b otrzymamy obliczając
b = cos2 75ć% - sin2 75ć%
[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość ln(0, 99999).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x
5. [4p.] Znalez
ć wszystkie asymptoty funkcji g(x) = .
arctg x
6. [4p.] a) Zbadać monotoniczność oraz wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji
"
h(x) = x 2 - x2 w całej jej dziedzinie naturalnej.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochodną
funkcji y = ln x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wykorzystując wzór Maclaurina przybliżyć funkcję
f(x) = sin(sin x)
wielomianem trzeciego stopnia.