Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone

1 + sin x
a) dx b) e-xarcctg exdx
(1 + 2 cos x) sin x
2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
Å„Å‚
ôÅ‚
e-x, x < 0
ôÅ‚
òÅ‚

x
f(x) = 1 - , 0 x 2
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0, x > 2
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = e-x(x - y)2 spełnia równanie
zxx - zyy - 2zy - z = 0
4. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = xy ln(x + y).
(x + y)2
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) = w punkcie (0, 0).
2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. .+.y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
5. [4p.] Obliczyć całkę

xdxdy
D
"
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = x, y = -x2, 5y - 3x = 8, y = x - 2.
Wykonać odpowiedni rysunek.
6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 6 - x2 - y2 i z = x2 + y2
znajdujÄ…cej siÄ™ wewnÄ…trz tych powierzchni.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w całce
iterowanej
1 1
dy f(x, y) dx
"
0
-2+ 2y-y2