Egzamin z przedmiotu  Matematyka elementarna
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [5p.] a) Obliczyć granice ciągów:
"
3n
n
g1 = lim 1 + 2-n + e-n + Ä„-n, g2 = lim [ln(2n + 1) - ln(2n - 3)]
n" n"
Ä„
Następnie wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji
1
f(x) = Ä„2 · g2 - arc cos(3 - g1 · x)
5
1 1 - n2
[2p.] b) Korzystając z definicji pokazać, że liczba g = - jest granicą ciągu an = .
3n2 +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . . .
.
2. [5p.] a) Wyznaczyć wartości parametrów a, b " R tak, aby funkcja h(x)

Å„Å‚
ôÅ‚ x2 + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
arcctg 1 - ln dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
(1 - x)2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
cos a + cos 2a + Ä„ + 1 dla x = 1
h(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 - x2
ôÅ‚
ôÅ‚
"
b · dla x > 1
ół
1 - 2 - x
była ciągła.
[2p.] b) W oparciu o warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy zbadać istnienie
x2 - x
granicy funkcji f(x) = w punkcie x0 = 1.
|1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-.x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
"
3. [5p.] a) Wyznaczyć taką wartość parametru a, a > 0, aby funkcja g(x) = ax - x2 spełniała
równanie
(g(x))3 · g (x) + 1 = 0
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość (1, 05)2,1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = 2x · arctg x - .
x
[2p.] b) Wykazać, że funkcja h(x) = x4-x3+3x2-2 jest wypukła w dół w przedziale (-", +").
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [5p.] a) Wyznaczyć ekstremum lokalne, o ile istnieje, funkcji

f(x) = ln x3 - 3x
oraz stycznÄ… do wykresu funkcji w punkcie stacjonarnym.
"
3
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin x w punkcie x0 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina uzasadnić, że dla każdego x > 0
zachodzi nierówność
"
x x2
3
1 + x > 1 + -
3 9