Egzamin z przedmiotu  Analiza matematyczna
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
0
"
dx 3
x
a) b) e dx
(2 + cos x)(3 + cos x)
-"

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę xn exdx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = tg x, y = ctg x i osią
Ä„
OX w zakresie od x = 0 do x = .
2
2
3x5 - 7x3 + 2x
[2p.] b) Korzystając z własności funkcji nieparzystej obliczyć wartość całki dx.
x2 + 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
"5f
3. [8p.] a) Wyznaczyć wartość pochodnej dla f(x, y, z) = ln(x2 + 2y - z) w punkcie
"z2"x"y2
P (1, 0, 0).
[2p.] b) StosujÄ…c różniczkÄ™ zupeÅ‚nÄ… obliczyć przybliżonÄ… wartość wyrażenia 2, 97 · e0,05.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x(x2 + y2 - 1).
(x + y)2
[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granicę funkcji h(x, y) = w punkcie (0, 0).
2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. .+.y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 6 - x2 + y2, x2 + y2 = 4
i płaszczyznami z = 1, x = 0 i y = x znajdującej się w pierwszym oktancie układu współrzędnych.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

y cos(z + x) dxdydz,
V
" Ä„
gdzie obszar V ograniczony jest powierzchnią y = x i płaszczyznami y = 0, z = 0 i x+z = .
2