Egzamin z przedmiotu  Analiza matematyczna
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
0
"
(1 + ex)2
a) arc sin2 xdx b) dx
1 + e2x
-"

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę lnn xdx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = arctg x, y = arcctg x
i osią Oy. Wykonać odpowiedni rysunek.
ln 3

ex - 1
[2p.] b) Korzystając z własności funkcji nieparzystej obliczyć wartość całki dx.
ex + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-.ln.3. . . . . . . . . . . . . . .
.
"5f
3. [8p.] a) Wyznaczyć wartość pochodnej dla f(x, y, z) = exy+z w punkcie P (1, 0, 1).
"x"y2"z2
cos(0, 05)
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,.96. . . . . . . . . . .
. . .
2
4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e-(x +y2+2x).
2x
[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) = w punkcie (0, 0).
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x.+.y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły znajdującej się w pierwszym
oktancie układu współrzędnych ograniczonej powierzchniami

z = x2 + y2 + 2, x2 + y2 = 4
i płaszczyznami z = 1, y = 0 i y = x. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

ln(x + y + z)
dxdydz,
(x + 1)(x + y + 1)
V
gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyznami x + y + z = e, x = 0, y = 0 i z = 1. Wykonać
rysunek obszaru V .