Egzamin z przedmiotu  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2013/2014
1. [9p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
+"

dx 2
a) b) xe-x dx
2 + tg x
1

[3p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę ctgn xdx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [9p.] a) Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru
"
ograniczonego funkcją y = 4 + x i osią OX w zakresie od x = -4 do x = 2. Wykonać rysunek
otrzymanej bryły.
[3p.] b) Wykorzystując własności całek z funkcji nieparzystych lub nieparzystych uzasadnić
4 4
" "
równość x2 + 1 cos xdx = 2 x2 + 1 cos xdx.
-4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zy 1
3. [9p.] a) Dla funkcji f(x, y, z) = xy-zey- + wyznaczyć zbiór D tych punktów (x, y, z) " R3,
x z
dla których spełniona jest równość
"4f 1
(x, y, z) =
"x2"y"z 4
[3p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
2
" "
wyrażenia 15 - 99 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [9p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = x2 - 4y2 w obszarze D
określonym nierównością x2 + y2 1.
2
x2
[3p.] b) Określić wartość funkcji f(x, y) = 1 + x2y w punkcie (0, 1) tak, aby była ona ciągła
w tym punkcie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
5. [9p.] a) Obliczyć pole powierzchni płata wyciętego z powierzchni z = x2 + y2 przez powierzchnię
x2 + y2 - 2y = 0. Wykonać rysunek.
[3p.] b) Zdefiniować obszar na płaszczyz
nie normalny względem osi OX.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyprowadzić wzór na objętość kuli o promieniu R.