Dynamika plynow 13 14


DYNAMIKA PAYNÓW
Dr Stanisław Auczyński
Ogólna postać podstawowych równań mechaniki płynów
1. Zasada zachowania pędu (ilości ruchu)
Pochodna pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru V względem czasu jest
równa sumie sił zewnętrznych działających na ten obszar
r r
r
d
+"+"+"��dV = +"+"+"�FdV + +"+"PdA
dt
V VA
siła bezwładności = siły masowe + siły powierzchniowe
Równania Naviera-Stokesa
r
r
r
d�
� = �F - gradp + ź �" "�
dt
2
2. Równanie zachowania krętu (momentu pędu):
Prędkość zmiany momentu pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru V równa
się sumie momentów wszystkich sił działających na ten obszar..
r r
d r r r r
+"+"+"(r � ��)dV = +"+"+"(r � �F)dV + +"+"(r � P)dA
dt
V VA
Podstawowe równanie maszyn przepływowych:
r
r r" r r"
"
&
M = [(r �� )2 - (r �� )1]�V
3. Równanie zasady energii:
2
r
�# ś#
r
d � r r
ź# & &
n n
+"+"+"�ś# 2 + uź#dV = +"+"+"�F �"�dV ++"+"� �"�dA + +"+"+"�dV + +"+"q dA
ś#
dt
�# #
V V A V A
wektor naprężeń
gęstość energii wewnętrznej intensywność wewnętrznego zródła ciepła
strumień energii cieplnej z otoczenia
Zmiana całkowitej energii układu płynnego następuje wskutek pracy sił
masowych i powierzchniowych oraz wskutek dostarczenia energii cieplnej ze
zródeł wewnętrznych i z otoczenia przez powierzchnie kontrolną.
dT
&
&
�c� = "2T + D +�
dt
intensywność dyssypacji
energii mechanicznej
4. Równanie ciągłości:
"�
�# ś#
"�x "�z ź#
d�
y
&
&
ś#
+ �ś# + + = M
(M = 0)
ź#
dt "x "y "z
�# #
+ warunki początkowe i brzegowe
Dynamika płynów doskonałych (ź =0)
r
r
d� 1
Leonhard Euler
= Fm - gradp
(1707 - 1783).
dt �
Traktat  Ogólne
zasady ruchu
Równania Eulera
płynów (1755)
"�x "�x "�x "�x 1 "p
+�x +�y +�z = Fx -
"t "x "y "z � "x
. . .
�x,�y,�z , p
�# ś#
d� "�x "�y "�z ź#
ś#
+ �ś# + + = 0
ź#
dt "x "y "z
�# #
Równanie Bernoulliego
Założenia:
Przepływ stacjonarny
Płyn bapotropowy
Siły masowe potencjalne
r2
� p
+ + gz = const
2 �
Daniel Bernoulli (1700  1782),
szwajcarski matematyk i fizyk.
r2
Obszarem jego zainteresowań były
��
także medycyna i fizjologia.
+ p + �gz = const
2
W Petersburgu przygotował swoją
większą pracę z hydrodynamiki.
W ostatecznej redakcji to klasyczne
dzieło wyszło w Strasburgu w roku
1738 pod tytułem Hydrodynamika,
czyli studia nad siłami i ruchami
cieczy.
W roku 1725 Daniel Bernoulli
został powołany wraz z bratem
Mikołajem do Petersburskiej
Akademii Nauk, w której czynny
był około ośmiu lat.
Zastosowania równania Bernoulliego
p
= h
�g
ĄD2
A =
4
�1 �" A1 = �2 �" A2 = �3 �" A3
�2 p
+ = const
2g �g
Rurka Pitota - Prandtla
2(p2 - p")
�" =
�"
p2 - p" = �mgh
Zwężka Venturiego
2(p1 - p2)
� =
Ą#�# D ś#4 ń#
� -1Ą#
ś# ź#
ó#
ó#�# d # Ą#
Ł# Ś#
Kryza
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
2
2
2(p1 - pa)
�2 = + 2gh �2 = 2gh
�
Woda wypływa do otoczenia przez mały otwór w zbiorniku,
który znajduje się na głębokości h = 180 cm. Nad zwierciadłem
wody panuje ciśnienie p1 = 1,035 bar. Z jaką teoretyczną
prędkością wypływa woda, jeżeli ciśnienie otoczenia jest równe
pa = 1,01 bar.
Obliczyć strumień objętości oleju o gęstości � = 0,8 kg/l
wypływającego ze zbiornika jeżeli średnica przewodu
wynosi d = 32 mm. Nadciśnienie na manometrze przy
zamkniętym i otwartym zaworze wynosi odpowiednio
pz = 1,035 bar i po= 1,019 bar.
Podstawy dynamiki płynów rzeczywistych
Równania Naviera-Stokesa
r
r
r
d�
� = �Fm - gradp + ź �" "�
dt
2
�# ś#
�# ś#
"�x "�x "�x "�x "p
ś#" �x "2�x "2�x ź#
ś# ź#
�ś# +�x +�y +�z +
ź#=�Fx - +źś# "x2 +
"t "x "y "z "x "y2 "z2 ź#
�# #
�# #
. . .
(�y )
. . .
(�z )
Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836) George Gabriel Stokes (1819-1903),
francuski inżynier i fizyk irlandzki matematyk i fizyk
Przepływy laminarne i turbulentne
Doświadczenia
Reynoldsa (1883)
��D �D
Re = =
ź �
Rekr =
2000 � 2300
Osborne Reynolds (1842  1912),
irlandzki inżynier
Przepływ przez kratkę
Turbulencja jednorodna
Struga
wody dymu
Re =10000
Przepływ turbulentny, nieściśliwy, stacjonarny
t2
1
"�i
, gdzie
�x =
� = const,
= 0
+"� dt
t2 - t1 t1 x
"t
RegułyReynoldsa Reguły uśredniania
2
�x = �x +�x
�x =�x
2
�y = �y +�y
2
�x = �x -�x = �x -�x = 0
2
�z =�z +�z
2 2
�x�y `" 0
2 2 2
�x�x =�x2 `" 0
2
P = P + P
L
jednopunktowe momenty korelacyjne
wartość wartość pulsacja
chwilowa średnia (fluktuacja)
Równania Reynoldsa
�# ś#
"�x "�x "�x "p
ś# ź#
�ś#�x +�y +�z = �Fx - +
ź#
"x "y "z "x
�# #
2 2
"(��x�y )
�# ś# 2 2 2
"2�x "2�x "2�x ź# "(��x2) "(��x�z )
ś#
+ źś# + + - - -
"x2 "y2 "z2 ź# "x "y "z
�# #
L
Tensor naprężeń turbulentnych (Reynoldsa)
Ą#
2 2 2 2 2
- ��x2 - ��x� - ��x�z ń#
y
ó# Ą#
2 2 2 2 2 2
[ ]= - �� �x - �� - �� �z
�
ó# Ą#
ij y y y
ó#
2 2 2 2 2 Ą#
- ��z Ą#
y
ó#- ��z�x - ��z�2
Ł# Ś#
Stopień lub intensywność turbulencji
2
�y2
2 2 2
�x2 �z
� =
� =
� =
y
z
x
�y
�z
�x
Energia kinetyczna turbulencji
2 2 2 2 2
�x2 +� +�z
y
q2 =
2
2 2
�x�y
Współczynnik korelacji (autokorelacji)
Rxy =
2 2
�x2 �y2
Makro- i mikroskale turbulencji
1
-
2
" 2
�# ś#
ś#- 1 d Rxx ź#
x =
�x = Rxx("x)dx
+"
ś# ź#
2
dx2
0
�# "x=0 #
Warstwa przyścienna
� ( x ) - grubość
warstwy
przyściennej
Ludwig Prandtl (1875 - 1953),
niemiecki fizyk
Walec
v = 1 mm/s
Re = 26
Re = 13
Ścieżka wirowa Karmana
Theodore von K�rm�n (węg. SzQllQskislaki
K�rm�n Tódor) (1881 - 1963) jest uważany za
pioniera nowoczesnej aerodynamiki.
Kula
Re = 15000
Re = 26,8
Ciecz o gęstości � = 0,85 kg/l płynie rurociągiem o
średnicy d = 30 mm z natężeniem przepływu Q = 2,5 l/s.
Lepkość dynamiczna cieczy � = 0,05 Pa�s. Określić
charakter przepływu.
Przy jakim natężeniu przepływu cieczy nastąpi stan
krytyczny, jeżeli średnica rury d = 20 mm, a lepkość
kinematyczna � = 0,05�10�ł m�/s?
Woda płynie rurociągiem z natężeniem przepływu Q = 0,2
l/s. Lepkość dynamiczna wody � = 0,001 Pa�s. Jaka może
być wartość średnicy rury aby przepływ został
laminarnym?
Przepływy w przewodach pod ciśnieniem
Straty liniowe
y
P1
P2
p1 - p2 = "p
x
d
"p
O
= 0
"y
L
"p p2 - p1 "p
"p  ��2
= = -
=
"x L L
L d 2
- współczynnik oporów liniowych  = f (Re,� )

4 A
k
A - powierzchnia przekroju
d =
� =
h
U - obwód zwilżony
U
d
64
dla przepływów laminarnych
 =
Re < 2000 � 2300 (wzów Pioseuille a)
Re
1 2,51
dla rur hydraulicznie gładkich
= -2lg
� > k
L
Re > 4 000 (wzór Prandtla  Karmana)
 Re 
0,3164
(wzór Blasiusa ) 4 000 < Re < 100 000
 =
Re1 / 4
1 �# 2,51 � ś#
(wzór Colebrooka  White a)
= -2lgś# + ź#
ś#
3,71ź# w strefie przejściowej
 Re 
�# #
1 �
ś#
(wzór Prandtla  Nikuradsego)
= -2lg�#
ś# ź#
w strefie kwadratowej
3,71 #

�#
Straty miejscowe
��2
"p = ś
2
-współczynnik oporów
ś
miejscowych
Gazy rzeczywiste
2
Równanie stanu gazu rzeczywistego
p = z�R T
z  współczynnik ściśliwości
dp p
Prędkość dzwięku 2
a = a = k = kR T
d� �
Prędkość rozchodzenia się dzwięku dla różnych ośrodków:
" powietrze - 340 m/s " lód - 3300 m/s
" hel  965 m/s " beton - 3800 m/s
" woda - 1500 m/s " stal - 5100 m/s - 6000 m/s
" rtęć - 1500 m/s " szkło - 6000 m/s
Ciepło właściwie
"qc
"i
�# ś#
�# ś#
"qc "u
�# ś# �# ś#
cp = =
ś# ź#
ś# ź#
cv = =
ś# ź# ś# ź#
"T "T
"T "T �# #
�# #
�# #v �# #v p
p
cp
2
cp - cv = R
= �
cv
�
Liczba Macha Ma =
a
Ze względu na liczbę Macha można podzielić rodzaje przepływu na:
" nieściśliwy: Ma << 1
" poddzwiękowy: Ma < 1
" dzwiękowy: Ma = 1
" okołodzwiękowy: 0.8 < Ma < 1.2
" naddzwiękowy: Ma > 1
" hiperdzwiękowy: Ma >> 1
dA
Równanie Hugoniota
(Ma2 -1)d� =
� A
Dysza de Lavala
Fale uderzeniowe
Ma > 1
Ma <1 Ma =1
Przepływy w ośrodkach porowatych
Porowatość powierzchniowa.
Porowatość objętościowa.
(0,259 �0,476)
Ap
mA =
A
Vp
mV =
V
Q Q
�rz = � =
prędkość filtracji
A
Ap
Prawo Darcy ego
� = k �" I
dh
I =
dL
k - współczynnik filtracji
I - spadek hydrauliczny
L - droga filtracji
Henry Philibert Gaspard Darcy
(1803 - 1858)  francuski naukowiec.
Przepuszczalność
kp kp
r
� = - gradp = - "p
ź ź
�g
r
k = kp
� = -k �" gradh = -k"h
ź
Równania Darcy ego dla ośrodka niejednorodnego
�y "h
�x "h �z "h
+ = 0 + = 0 + = 0
kx "x kz "z
ky "y
1. Obliczyć minimalną moc silnika , niezbędnego do napędu pompy
Ne
przetłaczającej wodę w ilości Q = 300 l/min ze studni na głębokości do
h2 = 6m
zbiornika, znajdującego się na wysokości od pompy. Długość rurociągu
h3 = 18m
ssawnego . Przyjąć
h1 + h2 + l1 = a rurociągu tłocznego l2 + h3 + l3 = 24m
12m
współczynniki oporów miejscowych , , , sprawność
ś = 9,3
ś = 0,3
ś = 1,0
s k
d
pompy , ciśnienie pg =1,5bar , wysokość .
h4 = 2m
� = 0,76
.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
14 statyka i dynamika płynów
13 14 dynamika
Doktryny polityczne 13 14
wykład 13 i 14 stacjonarne
ENT 13 14

więcej podobnych podstron