M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
W y k Ba d n r 1 3 .
1 3 . D y n a m i k a b u d o w l i u k Ba d y o j e d n y m d y n a m i c z n y m s t o p n i u
s w o b o d y .
P o j c i e d y n a m i c z n e g o s t o p n i a s w o b o d y z a l e |y o d s p o s o b u r o z Bo |e n i a
m a s y u k Ba d u ( m a s a s k u p i o n a w j e d n y m l u b k i l k u p u n k t a c h l u b r o z Bo |o n a w
s p o s b c i g By ) o r a z o d s z t y w n o [c i s a m e j k o n s t r u k c j i ( E J = " l u b E A = " d l a
j e d n e g o l u b k i l k u p r t w m o g o g r a n i c z a l i c z b s t o p n i s w o b o d y ) .
r y s u n e k : M e c h a n i k a B u d o w l i u j c i e k o m p u t e r o w e t o m 2 . . . G . R a k o w s k i
W n i n i e j s z y c h r o z w a |a n i a c h z a j m o w a s i b d z i e m y d r g a n i a m i u k Ba d w o
j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y .
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
1 3 . 1 . D r g a n i a s w o b o d n e b e z t Bu m i e n i a
R o z p a t r z m y m a s m z n a j d u j c s i n a
s p r |y n i e o s z t y w n o [c i k .
W d o w o l n e j c h w i l i n a c i a Bo d z i a Ba j
n a s t p u j c e s i By :
P ( t ) z e w n t r z n a s i Ba w y m u s z a j c a
d r g a n i a ,
m y
& & - s i Ba b e z w Ba d n o [c i ( m a s a "
p r z y s p i e s z e n i e ) ,
c y - s i Ba t Bu m i e n i a p r o p o r c j o n a l n a d o
&
p r d k o [c i c i a Ba ,
k y - s i Ba p o w s t a j c a w s p r |y n i e n a s k u t e k
j e j w y d Bu |e n i a ( s k r c e n i a )
Z m i e n n a y ( t ) o z n a c z a w y c h y l e n i e c i a Ba z
p o Bo |e n i a r w n o w a g i s t a t y c z n e j a y ( p r d k o [) , y ( p r z y s p i e s z e n i e )
& & &
o z n a c z a j p i e r w s z i d r u g p o c h o d n w y c h y l e n i a w z g l d e m c z a s u .
O g l n e r w n a n i e r w n o w a g i c i a Ba m a p o s t a :
m y + c y + k y = P ( t )
& & &
j e |e l i P ( t ) = 0 , t o m a m y d o c z y n i e n i a z d r g a n i a m i s w o b o d n y m i ,
J e |e l i c y = 0 , t o d r g a n i a c i a Ba s b e z t Bu m i e n i a ( d r g a n i a s w o b o d n e ) .
&
R w n a n i e d r g a D s w o b o d n y c h b e z t Bu m i e n i a j e s t w i c n a s t p u j c e :
m y + k y = 0
& &
j e |e l i w p o w y |s z e j z a l e |n o [c i w p r o w a d z i m y s t a B , k t r a o z n a c z a
c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h u k Ba d u :
k
=
m
t o r w n a n i e m a p o s t a :
y + 2 y = 0
& &
p o p o d s t a w i e n i u y = e r t , y = r 2 e r t i p o r o z w i z a n i u r w n a n i a
& &
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
2
r 2 + = 0
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 2 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
r o z w i z a n i e r w n a n i a r |n i c z k o w e m a p o s t a :
y = A s i n t + B c o s t
j e |e l i w p r o w a d z i m y n a s t p u j c e w a r u n k i b r z e g o w e :
y ( 0 ) = y 0 - w y c h y l e n i e p o c z t k o w e ,
y ( 0 ) = v 0 - p r d k o [ p o c z t k o w a , t o s t a Be A i B m o |e m y w y r a z i w
&
v 0
f u n k c j i p o w y |s z y c h w a r u n k w b r z e g o w y c h : B = y 0 , A = .
P o p o d s t a w i e n i u s t a By c h r w n a n i e m a p o s t a :
v 0
y = s i n t + y 0 c o s t
F u n k c j a p o w y |s z a m o |e b y r w n i e | z a p i s a n a n a s t p u j c y m w z o r e m :
y = C s i n ( t + )
g d z i e :
v 0 2
# #
2
C = A 2 + B 2 = y 0 + , o z n a c z a a m p l i t u d d r a D,
# #
# #
B y 0
t g = = j e s t k t e m p r z e s u n i c i a f a z o w e g o
A v 0
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 3 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
P o d s t a w o w c h a r a k t e r y s t y k d r g a D s w o b o d n y c h j e s t c z s t o [ k o Bo w a
d r g a D , k t r m o |n a w y z n a c z a r w n i e | z n a s t p u j c y c h z a l e |n o [c i :
k 1
= , k =
m 1 1
1 s t
= , 1 1 =
m 1 1 m g
m g g
= =
m s t s t
T o z n a c z a o k r e s d r g a D:
2 s t
T = = 2 m 1 1 = 2
g
2 m
s t
T = = 2 = 2 m 1 1 = 2
k g
w p r a k t y c e s t o s u j e s i t e | w i e l k o [c i :
1
f = [ H z ] - c z s t o [ f i z y c z n a ,
T
n = 6 0 / T c z s t o [ t e c h n i c z n a
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 4 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
W p r a k t y c e e l e m e n t y k o n s t r u k c y j n e w s p Bp r a c u j z e s o b . P o Bc z e n i e
e l e m e n t w k o n s t r u k c j i , w k t r y m w e w s z y s t k i c h c z [c i a c h s t a k i e s a m e
p r z e m i e s z c z e n i a n a z y w a m y p o Bc z e n i e m r w n o l e g By m , a p o Bc z e n i e w
k t r y m s t a k i e s a m e s i By p o Bc z e n i e m s z e r e g o w y m :
R w n o l e g By i s z e r e g o w y u k Ba d s p r |y n :
U k Ba d r w n o l e g By : u k Ba d s z e r e g o w y :
y = y 1 + y 2
y = y 1 = y 2
P = P 1 = P 2
P = P 1 + P 2
P = k y
P = k y
P 1 = k 1 y
P 1 = k 1 y
P 2 = k 2 y
P 2 = k 2 y
P / k = P 1 / k 1 + P 2 / k 2
k y = k 1 y 1 + k 2 y 2
P / k = P / k 1 + P / k 2
k y = k 1 y + k 2 y
1 1 1
= +
k = k 1 + k 2
k k 1 k 2
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 5 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 6 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 7 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 8 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
1 3 . 2 . D r g a n i a s w o b o d n e t Bu m i o n e
R w n a n i e r w n o w a g i c i a Ba o m a s i e m m a p o s t a :
m y + c y + k y = P ( t )
& & &
p r z y z a Bo |e n i u |e n i e d z i a Ba s i Ba z e w n t r z n a P ( t ) :
c k
y + y + y = 0
& & &
m m
o z n a c z a n c :
k
2
=
m
c
2 =
m
o t r z y m a m y r w n a n i e :
2
y + 2 y + y = 0
& & &
j e |e l i z a Bo |y m y :
y = e r t , y = r e r t , y = r 2 e r t
& & &
2
r 2 e r t + 2 r e r t + e r t = 0
t o o t r z y m a m y r w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e :
2
r 2 + 2 r + = 0
2 2
R o z w i z a n i e t e g o r w n a n i a z a l e |y o d : " = 4 ( - )
R o z p a t r u j e m y t r z y p r z y p a d k i :
1 . " < 0 , >
2 2
- b " - 2 2 -
2 2
r 1 2 = = = - -
2 a 2
2 2 2 2
r 1 = - + - , r 2 = - - -
r 1 = - + i 1 , r 2 = - - i 1
2
o z n a c z a m y : 1 = 2 - g d y >
r w n a n i e o p i s u j c e w y c h y l e n i e c i a Ba p r z y j m u j e p o s t a :
y ( t ) = e - t ( A s i n 1 t + B c o s 1 t )
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 9 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
w y k r e s y ( t ) o d c z a s u
y ( t ) = e - t C s i n ( 1 t + )
v 0 2
# #
2
g d z i e : C = A 2 + B 2 = y 0 + , o z n a c z a a m p l i t u d d r a D,
# #
# #
B y 0
t g = = j e s t k t e m p r z e s u n i c i a f a z o w e g o
A v 0
o k r e s d r g a D z a n i k a j c y c h :
2 2
T = =
2 2
1
-
c z s t o t l i w o [ d r g a D:
2 2
1 -
- 1
f = T = =
2 2
o b l i c z a m y s t o s u n e k a m p l i t u d p r z e s u n i t y c h o o k r e s T 1
y ( t ) = e - t C s i n ( 1 t + )
1
= e T = c o n s t
y ( t ) = e - ( t + T ) C s i n ( 1 t + 1 T + )
n a p o d s t a w i e p o w y |s z e j z a l e |n o [c i m o |e m y z d e f i n i o w a l o g a r y t m i c z n y
d e k r e m e n t t Bu m i e n i a :
y n
= l n = T 1 ! =
y n + 1 T 1
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 0 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
w i e l k o [ l o g a r y t m i c z n e g o d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a o r a z o k r e s d r g a D T 1 m o g
b y w y z n a c z o n e d o [w i a d c z a l n i e . N a i c h p o d s t a w i e m o |e m y w y z n a c z y
s t a B t Bu m i e n i a :
2 m 1 1
c = 2 m = 2 m = = m 1
T 1 2 T 1
w n i o s k i :
" w s p Bc z y n n i k c t Bu m i e n i a l e p k i e g o z a l e |y o d c z s t o [c i d r g a D
1
w Ba s n y c h c = m 1
2
" s i By t Bu m i e n i a z m n i e j s z a j c z s t o [ k o Bo w d r g a D 1 = 2 -
" c z s t o [ d r g a D n i e z a l e |y o d a m p l i t u d y
" d r g a n i a t Bu m i o n e m a j c h a r a k t e r z a n i k a j c y
2 . " > 0 , >
2 2 2 2
r 1 = - + - , r 2 = - - -
2
2 = - 2 g d y >
r 1 = - + 2 < 0 , r 2 = - - 2 < 0
r w n a n i e d r g a D: y ( t ) = C e ( - + 2 ) t + D e ( - - 2 ) t
3 . " = 0 , =
5
4
3
2
1
0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5
w y k r e s y ( t ) o d c z a s u
r 1 = - , r 2 = -
r w n a n i e d r g a D : y ( t ) = e - t ( A + B t )
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 1 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
P r z y p a d e k 2 i 3 t z n . g d y e" n i e o d p o w i a d a r u c h o w i d r g a j c e m u u k Ba d u .
W p r a k t y c e n a l e |y j e s t o s o w a g d y c h c e m y u n i k n d r g a D.
K r y t y c z n a w a r t o [ s t a Be j c ( c k r ) d l a = d a n a j e s t w z o r e m :
c k r = 2 m
W p r o w a d z a m y b e z w y m i a r o w y p a r a m e t r t Bu m i e n i a
c c
= = = s t d =
c k r 2 m
p a r a m e t r m o |e c h a r a k t e r y z o w a t Bu m i e n i a i n a z y w a n y j e s t l i c z b
t Bu m i e n i a .
P o d s u m o w a n i e :
2 2
D l a < 1 , > , 1 = - = 1 - 2
y ( t ) = e - t ( A s i n 1 t + B c o s 1 t ) = e - t ( A s i n 1 t + B c o s 1 t )
D l a = 1 , = ,
y ( t ) = e - t ( A + B t )
2 2
D l a > 1 , < , 2 = - +
y ( t ) = e - t ( A s i n h 2 t + B c o s 2 t )
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 2 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
W y k Ba d n r 1 4 . c i g d a l s z y w y k Ba d u n r 1 3
1 3 . 3 . D r g a n i a w y m u s z o n e b e z t Bu m i e n i a
R o z p a t r z m y u k Ba d b e z t Bu m i e n i a , n a k t r y
d z i a Ba s i Ba w y m u s z a j c a P o p i s a n a
r w n a n i e m : P ( t ) = P 0 s i n P t
R |n i c z k o w e r w n a n i e r w n o w a g i m a
p o s t a :
m y + k y = P ( t )
& &
r o z w i z a n i e t e g o r w n a n i a m a p o s t a :
y = y 0 + y s
g d z i e y 0 j e s t c a Bk o g l n r w n a n i a
j e d n o r o d n e g o ,
y 0 = A s i n t + B c o s t
y s j e s t c a Bk s z c z e g l n r w n a n i a n i e j e d n o r o d n e g o . P o n i e w a | w
r z e c z y w i s t y c h k o n s t r u k c j a c h w y s t p u j e t Bu m i e n i a w i c y 0 z a n i k a w c z a s i e .
W d a l s z y m c i g u z a j m i e m y s i w i c c a Bk s z c z e g l n r w n a n i a
n i e j e d n o r o d n e g o :
y = A s i n t
0 P
y = A 0 P c o s P t
&
y = - A 0 P 2 s i n P t
& &
P o d s t a w i a j c p o c h o d n e w z g l d e m c z a s u d o r w n a n i a r w n o w a g i
o t r z y m a m y :
- m A 0 P 2 s i n P t + k A 0 s i n P t = P 0 s i n P t
p o p o d z i e l e n i u o b u s t r o n n i e p r z e z s i n P t o t r z y m a m y :
- m A 0 P 2 + k A 0 = P 0
s k d m o |e m y w y z n a c z y
P 0 P 0 P 0
A 0 = = =
2 2
# #
k - m P 2 m - m P 2
2
#1 - #P # #
m
# #
# #
# #
# #
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 3 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
P 0
A 0 =
#
P 2 #
# #
#
k #1 -
# #
# #
# #
# #
w i a d o m o r w n i e |, |e :
P 0
k y = P ( t ) , P 0 = k
s t
a w i c :
#
P 2 #
# #
P 0 P 0
#
A 0 k #1 - = P 0 = k , = 1 1 P 0
# #
s t s t
# #
# #
# #
1
P 0 P 0
A 0 = =
s t s t
2
# #
#1 - #P # #
# #
# #
# #
# #
g d z i e j e s t w s p Bc z y n n i k i e m w y b o c z e n i o w y m :
1
=
P 2
# #
1 -
# #
# #
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 4 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
4
3
2
1
0
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 2 . 2 2 . 4 2 . 6
- 1
- 2
- 3
- 4
w y k r e s w s p Bc z y n n i k a w y b o c z e n i o w e g o w z a l e |n o [c i o d w z g l d n e j
c z s t o [c i w y m u s z e n i a
1 3 . 4 . D r g a n i a t Bu m i o n e , w y m u s z o n e , h a r m o n i c z n e
R w n a n i e r |n i c z k o w e r u c h u c i a Ba m a p o s t a :
m y + c y + k y = P ( t ) = P 0 s i n P t
& & &
p r z y z a Bo |e n i u |e n i e d z i a Ba s i Ba z e w n t r z n a P ( t ) :
c k
y + y + y = 0
& & &
m m
o z n a c z a j c :
k
2
=
m
c
2 =
m
o t r z y m a m y r w n a n i e :
P 0
2
y + 2 y + y = s i n P t
& & &
m
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 5 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
R o z p a t r u j e m y t y l k o p r z y p a d e k " < 0 , > d l a k t r e g o r w n a n i e r u c h u
c i a Ba d r g a j c e g o m a p o s t a s u m y c a Bk i o g l n e j r w n a n i a j e d n o r o d n e g o i
c a Bk i s z c z e g l n e j r w n a n i a n i e j e d n o r o d n e g o :
y = y 0 + y s
C a Bk a o g l n a :
y 0 ( t ) = e - t ( A s i n 1 t + B c o s 1 t )
o p i s u j e r w n a n i e d r g a D w Ba s n y c h z a l e |n e o d w a r u n k w p o c z t k o w y c h i z a n i k a j c e w
c z a s i e w p r z y p a d k u u k Ba d w z t Bu m i e n i e m ,
c a Bk a s z c z e g l n a
y S - r w n a n i e d r g a n i a s t a c j o n a r n e w y m u s z o n y c h s i B P ( t ) = P 0 s i n P t
p r z e w i d u j e m y w n a s t p u j c e j p o s t a c i :
y s ( t ) = C s i n t + D c o s t
P P
y = C P c o s P t - D P s i n P t
&
y = - C P 2 s i n P t - D P 2 c o s P t
& &
p o d s t a w i a j c p o w y |s z e z a l e |n o [c i d o r w n a n i a r u c h u o t r z y m a m y :
- C P 2 s i n P t - D P 2 c o s P t + 2 ( C P c o s P t - D P s i n P t ) +
P 0
2 ( C s i n P t + D c o s P t ) = s i n P t
m
P 0
2
- 2 D P + C ( - P 2 ) =
m
+ 2 C P + D ( 2 - P 2 ) = 0
s t d
+ 2 C P + D ( 2 - P 2 ) = 0
y = R s i n ( P t + )
- p r z e s u n i c i e f a z o w e d r g a D s t a c j o n a r n y c h u k Ba d u w z g l d e m d r g a D s i By
w y m u s z a j c e j .
R - a m p l i t u d a d r g a D w y m u s z o n y c h
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 6 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
P 0
P 0
s t
P 0
m
R = = = s t
2 2 2 2
( - P ) + 4 P # #P #2 #2
P 2
2
+ 4
# #
#1 - #
4
# #
# #
w p o w y |s z y m w z o r z e o z n a c z a w s p Bc z y n n i k d y n a m i c z n y m :
1
=
2
2
#
P # P 2
# #
2
+ 4
# #
#1 - #
4
# #
# #
p o d s t a w i a j c :
c
= = , c = 2 m
k r
c
k r
w s p Bc z y n n i k d y n a m i c z n y m o |e b y w y r a |o n y n a s t p u j c y m w z o r e m :
1
=
2
2 2
# #
# # # #
2
P P
+ 4
# #
#1 - # # #
# # # #
# #
g d y = w y s t p u j e z j a w i s k o z w a n e r e z o n a n s e m d l a k t r e g o :
P
1
=
r
2
5
4 . 5
w s p Bc z y n n i k d y n a m i c z n y
4
0 . 1
3 . 5
0 . 2 5
0 . 5
3
0 . 8
2 . 5
1
2
0 . 0 0 1
1 . 5
1
0 . 5
0
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k a d y n a m i c z n e g o w z a l e |n o [c i o d c z s t o [c i s i By w y m u s z a j c e j
w z g l d e m c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h d l a r |n y c h l i c z b t Bu m i e n i a
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 7 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
M e c h a n i k a B u d o w l i ( C 1 6 ) P i o t r I w i c k i
l i c z b a w s p Bc z y n n i k
t Bu m i e n i a d y n a m i c z n y
0 . 0 0 1 5 0 0
0 . 1 5
0 . 2 5 2
0 . 5 1
0 . 8 0 . 6 2 5
1 0 . 5
P
w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k a d y n a m i c z n e g o d l a = 1 , d l a r |n y c h l i c z b t Bu m i e n i a
1
( r = )
2
O b l i c z a n i e s i B w e w n t r z n y c h w k o n s t r u k c j a c h m o d e l o w a n y c h j a k o u k Ba d y
d y n a m i c z n e o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y .
k y = P ( t ) - m y - c y
& & &
Z = P ( t ) - m y - c y
& & &
Z j e s t z a s t p c z s i B s t a t y c z n .
J e |e l i z r o z w i z a n i a r w n a n i a r |n i c z k o w e g o o p i s u j c e g o d r g a n i a u k Ba d u
w y z n a c z y m y y t o m o |e m y w y z n a c z y r w n i e | s i B Z :
Z = k y ( t )
S i By w e w n t r z n e w k o n s t r u k c j i m o |e m y w y z n a c z y j a k o s u m o b c i |e D
s t a t y c z n y c h i d y n a m i c z n y c h
M = M + M d y n
s t
h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l w y k Ba d 1 3 / 1 8 p i w i c k i @ p g . g d a . p l
W y k Ba d m e c h a n i k a b u d o w l i C 1 6 , d y n a m i k a p r z y k Ba d y P . I w i c k i
W y k Ba d m e c h a n i k a b u d o w l i C 1 6 , d y n a m i k a p r z y k Ba d y P . I w i c k i
W y k Ba d m e c h a n i k a b u d o w l i C 1 6 , d y n a m i k a p r z y k Ba d y P . I w i c k i
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