Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2013/2014
1. [9p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x2 + y2
x2 + y2 = 9, z = 4 -
3
i płaszczyzną z = 4. Wykonać odpowiedni rysunek.
[3p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [9p.] a) Obliczyć całkę

(xy + x + y) dx + (xy + x - y) dy
K
gdzie K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywÄ… x2 + y2 - 2x = 0 zorientowanÄ… dodatnio.
Wykonać rysunek krzywej K.
[3p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe

2y 3z2 1 z3

W = - i - j - + x2
k
z x z x2
jest bezz
ródłowe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [9p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia
3xy - y = 3xy4 ln x, y(1) = 1
[3p.] b) Sprawdzić, czy równanie (y2x - y3)dx + (1 - y2x)dy = 0 jest równaniem różniczkowym
zupełnym. Jeśli nie - wyznaczyć, o ile to możliwe, czynnik całkujący tego równania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [9p.] a) Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + y = cos x
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych y(0) = 2 i y (0) = 0.
[3p.] b) Sprawdzić, czy funkcje y1(x) = ex, y2(x) = sin x i y3(x) = cos x tworzą układ
fundamentalny.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [9p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
"

(2 - x)n
"
n3 + 1 · 4n
n=1
oraz określić rodzaj zbieżności szeregu na końcach tego przedziału.
"

1
[3p.] b) Wyznaczyć sumę szeregu .
2
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1.4n. .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
1
6. *) [dla chętnych] [5p.] Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina.
(2 + x)2