Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
" "

(n!)2 n + 2
a) b) (-1)n
(2n)! n2 + 1
n=1 n=1
n

"
3
n + 1
[2p.] c) Sprawdzić, czy szereg spełnia warunek konieczny zbieżności.
2n
n=1
2. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znalez
ć sumę szeregu potęgowego
"

xn
n5n
n=0
[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ". Odpowiedz

uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.
3. [4p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln(x2 + 5x + 6) w szereg Maclaurina. Podać przedział
zbieżności otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Wyznaczyć całkę szczególną równania y +y tgx = sin 2x spełniającą warunek począt-
kowy y(0) = 1.

x
5. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (ln y - 2x) dx + - 2y dy = 0 jest zupełne
y
i wyznaczyć jego całkę ogólną.
6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 4y = et
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a funkcji jednostkowej f(t) = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Funkcja f(x) = 3 - x dla x " [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera postaci

"

3 6(1 - (-1)n) nĄx
+ cos .
2 Ą2n2 3
n=1
"

1 - (-1)n
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
n2
n=1