Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, IBM gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć całkę (2x+3y-z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym
V
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 + z2 = 4 i x2 + y2 = 3z2
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

2xydx + xdy
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru określonego nierównościami
x2 + y2 1 oraz y 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) jedno z zastosowań geometrycznych całek
krzywoliniowych skierowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka

cos 4ydx - 4x sin 4ydy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
Ą Ą
gładkim skierowanym od punktu A(2, ) do punktu B(1, ).
4 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5. [4p.] a) Obliczyć całkę (xz + 1 + 4y)dS, gdzie S jest częścią powierzchni y = x2
S
zawartą między płaszczyznami z = 0, z = 2 i y = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.
y
6. [4p.] Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = z - arctg . Dla otrzymanego pola
x

wektorowego W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

xdydz + ydxdz + zdxdy
S
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli o równaniu x2 + y2 + z2 = a2.