Egzamin połówkowy z  Analizy matematycznej II
WETI, AiR, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = z2 i x2 + y2 = 4x
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.

2. [4p.] Obliczyć (x - y)dx - (x + y)dy, gdzie K jest łukiem krzywej o równaniu
K
4x2 + 9y2 = 36
od punktu A(-3, 0) do punktu B(0, -2).
3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

xye-xdx + e-2xy2dy
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = ex
oraz y = e2x i prostą x = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Obliczyć (x2 + y2 + z)dS, gdzie S jest częścią powierzchni z = x + 2y leżącą nad
S
Ä„
obszarem D = {(x, y) " R2 : 0 x , 0 y sin x}.
2

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole W = y2exy + (xy + 1)exy jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć
i j
jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że
grad(ÕÈ) = Õ gradÈ + È gradÕ
gdzie Õ , È sÄ… różniczkowalnymi polami skalarnymi.
6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
2
" "
3

n + 3 (n + 2)n
a) " b)
2
2n n + n - 1 6nnn
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia warunek
konieczny zbieżności, a drugi go nie spełnia. Odpowiedz
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu
"

1 3
sin cos
2n 2n
n=2