Kolokwium końcowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek EiT gr. 1-8, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału
zbieżności szeregu potęgowego
"

(3x)n
(-1)n
n2 + 5
n=0
[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ". Odpowiedz

uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.
2. [4p.] Znalez
ć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
"

xn
n7n
n=1
1
3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina. Podać przedział
x2 - x - 2
zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych sinusów (bez wyznaczania go).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Rozwiązać równanie

y y
y - arctg = 1
x x
przy zadanym warunku początkowym y(1) = 0.
5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y + x2y = x2 spełniającą warunek począt-
kowy y(2) = 1.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego Bernoulli ego i opisać sposób jego
rozwiązywania.

x
6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (ln y - 2x)dx + - 2y dy = 0 jest zupełne
y
i wyznaczyć jego całkę ogólną.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 16y = e2x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace a.