Kolokwium/egzamin końcowy z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, AiR gr.1-3, EiT gr. 7-9, 2 sem., r. ak. 2007/2008
1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe
w = [ey, xey - 4y]

jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć jego potencjał.
2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
3
" "

n4 - 1 + 3n n
a) b) ln
2n3 + n2 - 2 n + 1
n=1 n=1
[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek koniecz-
ny zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

"

3 n (x - 1)n
"
3
2 n
n=1
oraz zbadać zbieżność na końcach przedziału zbieżności.
4. [4p.] a) Funkcja f(x) = 3-x dla x " [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny
Fouriera postaci

"

3 6(1 - (-1)n) nĄx
+ cos .
2 Ą2n2 3
n=1
"

1
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
(2n-1)2
n=1
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych sinusów (bez wyznaczania go).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Wyznaczyć oryginał dla następującej transformaty Laplace a
s + 3
F (s) =
s(s2 + 4)
6. [4p.] a) Znalez
ć rozwiązanie równania różniczkowego
xy = y(1 + ln y - ln x)
spełniające warunek początkowy y(1) = e-1/2.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego jednorodnego i omówić sposób jego
rozwiązywania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć czynnik całkujący i rozwiązać równanie
(2ex + y4)dy - yexdx = 0