Egzamin połówkowy z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, AiR gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć

(x2 - y2)dx + 2xydy,
L
gdzie L jest łukiem opisanym równaniem x2 + y2 = 1, dla x 0 i y 0, skierowanym od
punktu A(1, 0) do punktu B(0, 1).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

tg x dx + y tg2x dy,
K
gdzie K jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach w punktach A(0, 1), B(Ą , 1), C(Ą , 3) i
4 4
D(0, 3) skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka

xdx + ydy
x2 + y2
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(6, 8), nie przechodzącym przez
początek układu współrzędnych.
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z3+3z2+4z-8 = 0. Rozwiązania
równania zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej.

z1 z1
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi = ,
z2 z2
przy założeniu, że z2 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

zeĄzdz
,
(z2 + 4)2
C
gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 2 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę


(xz + 1 + 4y)dS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu y = x2, zawartą między płaszczyznami z = 0,
z = 2 i y = 1.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny Y OZ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = + (z - 2i)2 - i.
z