Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej II
WETI, EiT, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 + z2 = 4z i x2 + y2 = z2
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego
typu.

2. [4p.] Obliczyć ye-xdl, gdzie K jest krzywą postaci:
K
K = {(x, y) : x(t) = ln (1 + t2), y(t) = 2arctg t - t + 1, 0 t 2}
3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

3(x2 + y2)dx + (x + y)2dy,
K
gdzie K jest brzegiem trójkąta zorientowanym dodatnio o wierzchołkach w punktach
A(1, 1), B(2, 2) i C(3, 1). Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Obliczyć z2dS, gdzie S jest powierzchnią o równaniu x2 + y2 + z2 = 9.
S

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole W = 6(x+y) +(6x+3y2) jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć
i j
jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że
grad(a Õ + b È) = a gradÕ + b gradÈ
gdzie Õ , È sÄ… różniczkowalnymi polami skalarnymi, a, b " R.
6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
" "

2n2 - 1 (n!)2e2n
a) b)
3n3 + n - 2 (2n)!
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów spełniających warunek konieczny zbieżności, z
których jeden jest zbieżny, a drugi rozbieżny. Odpowiedz
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu

"

2
ln 1 -
(n + 1)(n + 2)
n=1