Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami
x2 + y2 + z2 6z i x2 + y2 z2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne sferyczne dowolnego typu.
2. [8p.] a) Obliczyć całkę

(x + y) dx + xydy
K
gdzie K jest brzegiem ćwiartki koła o równaniu x2 + y2 4 dla x 0 i y 0 zorientowanym
dodatnio.

[2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe W = [2xy + z2, x2, 2xz + Ą cos Ąz] jest potencjalne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y
3. [8p.] a) Rozwiązać równanie 1 + ln x + dx - (1 - ln x) dy = 0.
x
[2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie
4y "
y - = x y
x
do równania różniczkowego liniowego?
4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 2y = 2e-2x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y (0) = 1.
[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n 3, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj
2
" "

nn (n!)2
a) b) (-1)n
2
(n - 3)n (2n)!
n=1 n=1

"

1
[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu ln 1 - .
n2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
"

xn
nen
n=1