Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, EiT gr.1-9, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć całkę y cos(x+z), gdzie bryła V ograniczona jest płaszczyznami y = 0,
V
Ą "
z = 0, x + z = i powierzchnią y = x. Wykonać odpowiedni rysunek.
2
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = 2z2 i x2 + y2 = 3 - z
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego
typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

(xy + x + y)dx + (xy + x - y)dy,
K
gdzie K jest brzegiem obszaru o równaniu x2 + y2 = 4x skierowanym dodatnio. Wykonać
odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) jedno z zastosowań geometrycznych całek
krzywoliniowych skierowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka

ex cos ydx - ex sin ydy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
Ą
gładkim skierowanym od punktu A(0, 0) do punktu B(1, ).
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę xdydz + ydxdz + zdxdy, gdzie S jest częścią powierzchni
S
1
z = -x2-y2 leżącą w I oktancie układu współrzędnych i zorientowaną tak, że cos ł > 0.
4
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
Y OZ.
6. [4p.] Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego

W = (x2 + xy + 2z) + xyz + (x + z)
i j k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

xdydz + ydxdz + zdxdy
S
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli o równaniu x2 + y2 + z2 = a2.