Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k " R tak, aby funkcja f(x) była ciągła dla dowolnego
x " R
Å„Å‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ k - · arctg (log3 |x - 1|) dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
Ä„
ôÅ‚
òÅ‚
Ä„ - |x - 1| dla 1 x 3
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚ -x
3-x
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
+ mx dla x > 3
Ä„
Dla obliczonej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
g(x) = arc cos (x - 1) + k
"
a sin x
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = x w punkcie o współrzędnej
4n2
Ä„ n2
x0 = b2 · , gdzie a = lim ln , natomiast b jest ujemnym pierwiastkiem równania
n"
2 n2 - 1
x2 - 2x - 3 = 0.
2n - 1
[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n.+.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały, w których funkcja y = ln(1 + x2) jest
jednocześnie malejąca i wypukła w dół.
1
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = .
sin x
4. [4p.] Obliczyć całki

"
a) arcctg x dx b) (x ln x)2 dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę

sin xdx
1 + cos x + sin x
[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę

fn(x)f (x)dx.
6. [4p.] Obliczyć całkę

dx
,
eÄ…x + e-Ä…x
gdzie ą jest równe długości wektora = [0, 2].
u
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W (x) = x3 - 3x2 + x - 2
w postaci sumy potęg dwumianu x + 2.