Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
Å„Å‚
òÅ‚
1 - x2 dla x 0
f(x) =
ół
2-x dla x > 0
dla x " -1, +") oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) W zależności od parametru k " R podać warunki rozwiązalności i rozwiązać układ
równań
Å„Å‚
ôÅ‚ -x + y + z = 0
òÅ‚
kx + (k + 2)y = 0
ôÅ‚
ół
kx + y = 0
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znalez
ć rzut punktu A(1, -2, 0) na płaszczyznę o równaniu x - 3y + 2z - 5 = 0.
[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
Å‚ych w R3.
4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f(z), jeśli dana jest jej część urojona v(x, y) = y3-3yx2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja g(x, y) = x3 + 8y3 - 6xy + 5 ma ekstremum lokalne w punkcie
1
P0(1, ). Jeśli tak, określić czy jest to minimum czy maksimum.
2
[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.
6. [4p.] Obliczyć

ydxdy
D
gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x2 + y2 2y i x 0 . Wykonać odpowiedni
rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć, przedstawić w postaci algebraicznej i zinterpretować na
"
3
płaszczyz
nie zespolonej -i.