Egzamin poprawkowy z przedmiotu Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k " R, dla których funkcja f(x) jest ciągła
Å„Å‚
-x
ôÅ‚ arcctg3-x dla x < 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2k2 - 3k + Ä„ dla x = 3
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
-
ół
(x-3)2
Ä„ + 2e dla x > 3
2. [7p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (sin x)x ln a w punkcie o współrzędnej
Ä„ 2n + 1 5n
x0 = b · , gdzie a = lim , natomiast b jest dodatnim pierwiastkiem równania
n "
2 2n - 1
x2 + 2x - 3 = 0.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = ln x.
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
+ "
dx
a) b) (Ä„ - 2arctgx)dx
sin x - 2 cos x + 3
0
1
4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania (B · A-1 · X)-1 = (A · B)-1, gdzie
3
1 2 1 -1
A = , BT =
0 2 1 0
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a)Znalezć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część urojona
v(x, y) = 4x3y - 4xy3 + 1
"
[2p.] b) Wyznaczyć 9 - 12i. Wynik przedstawić na płaszczyznie zespolonej.
6. [7p.] a) Obliczyć
x2 y2
1 - - dxdy
9 4
D
x2 y2
gdzie obszar D opisany jest nierównościami: + 1, x 0 i y 0 . Wykonać odpowiedni
9 4
rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć prostą l1 przechodzącą przez początek układu współrzędnych
i równoległą do prostej l o równaniu krawędziowym
Å„Å‚
òÅ‚
x + y - 2z = 1
ół
2x - y + z = 2