Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR i EiT , 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Jeżeli istnieją punkty nieciągłości, określić ich rodzaj.
Å„Å‚
x-2

1-x
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x < 1
ôÅ‚
òÅ‚
Ä„
f(x) =
ôÅ‚ - 1| dla 1 x 2
Ä„|x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1
arcctg (log (x - 2)) dla x > 2
2

1
2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x) = x ln 1 + .
x
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie ciągu zbieżnego do granicy właściwej na podstawie twier-
dzenia o trzech ciągach i na podstawie twierdzenia o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego
do zera. Podać wartości tych granic.
"
3
3. [7p.] Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji y = x2e-x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
1
ln x dx arcctgx dx
a) b)
(1 + x2)3/2 x2
0
[2p.] c) Opisać dwa przykłady zastosowań geometrycznych całek oznaczonych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć macierz Y z równania
-1
1
-1
Y A = Y + B
2
gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A-1 = -1 1 0 , B = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 2 2
[2p.] b) Podać po jednym przykÅ‚adzie macierzy kwadratowej i dowolnego wymiaru m × n dla
m = n, których rząd wynosi trzy.

6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x3 + 8y3 - 6xy + 5.

[2p.] b) Za pomocą różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (5, 98)2 + (8, 01)2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [5p.] [dla chętnych] Przedstawić podaną prostą w postaci parametrycznej i kanonicznej
Å„Å‚
3x
òÅ‚ - 2y + 5z - 1 = 0
ół
2x - y + 2z - 2 = 0