Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, EiT (gr. 8-9) i IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k " R funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 = 2?
Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x " R \ {2}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.
Å„Å‚
x
ôÅ‚
cos(m) + dla x < 2
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ |k - 2| dla x = 2
ôÅ‚
òÅ‚
1
f(x) =
ôÅ‚
dla 2 < x 4
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
2-x
ôÅ‚ 1 + 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
arcctg(ln |4 - x|) dla x > 4
2. [4p.] Wyznaczyć pochodną funkcji
ëÅ‚ öÅ‚| ln a|

3x - 5
íÅ‚ Å‚Å‚
f(x) = cos
b - x
1-n2
n2
gdzie a = lim , b jest większym z pierwiastków równania -3x2 + 8x - 4 = 0.
n"
n2 - 2
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną y = cos 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e + x
3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) = ln w punkcie będącym
e - x
jej punktem przegięcia.
1
"
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia .
3,98
4. [4p.] Obliczyć całki

"
3
a) earc cos xdx b) x(ln x)2dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę

1 - x5
dx
x4 - 16

f (x)
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na dx.
f(x)
6. [4p.] Obliczyć całki

dx dx
"
a) b)
sin2 x + 2 sin x cos x + 5 cos2 x
1 + 4x - x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
2
y = (cos x)(ln x)x