Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-10), 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. [4p.] Wyznaczyć dziedzinę funkcji
arc sin(x - 3) - log(9 - x2)

f(x) =
|x - 4| - 1

"
2. [4p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim an - bn + cn , gdzie
n"
"

n+1
2n + 5 6n+3 e n
"
an = , bn = , cn = cos(5n + 3)
n
2n + 1 e n2 + 1
2 2n2 - 1
[2p.] b) Na podstawie definicji pokazać, że liczba g = jest granicą ciągu an = .
3 3n2 + +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . .2. . .
.
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m i a tak, aby podana funkcja była ciągła
Å„Å‚ "
ôÅ‚
x2 + 5 - 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x = -2, x = 2

ôÅ‚
òÅ‚
x2 - 4
f(x) =
1 1
ôÅ‚
ln2 a - ln a dla x = 2
ôÅ‚
2 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1
sin(m) dla x = -2
3
"
4. [4p.] a) Znalez
ć (f ć% g) (x) mając dane f (x) = 1 - x2 i g(x) = cos x.
[2p.] b) Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochod-
nÄ… funkcji y = arcctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x
5. [4p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x) = x ln .
x - 2
[2p.] b) Na wybranym przykładzie omówić działanie reguły de l Hospitala.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. [4p.] Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji y = (1 + x2)ex.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
3
y = (ln 2x)(cos x)x