Kolokwium połówkowe z analizy matematycznej
WETI, AiR gr.1-2, EiT gr. 6-8, 2 sem., r. ak. 2006/2007
Ä„2 x2
1. Rozwinąć w przedziale [-Ą, Ą] w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f(x) = - i
12 4
"

(-1)n-1
korzystając z tego rozwinięcia obliczyć sumę szeregu liczbowego .
n2
n=1
x2+y2+2y
2. a) Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f(x, y) = ln .
x+y
x2+y2
b) Na podstawie definicji granicy funkcji w punkcje udowodnić, że lim nie istnieje.
x2-y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x,y)(0,0). . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
3. Sprawdzić czy funkcja z = e-x(x - y)2 spełnia równanie różniczkowe zxx - zyy - 2zy - z = 0.
8 x
4. a) Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji z = + + y.
x y
b) Stosując definicję różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (1, 003)1,99.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej y = y(x) danej równaniem

y
ln x2 + y2 - arctg = 0
x
.

6. a) Obliczyć (x2 + y2) dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 x2 + y2 2y
D
i y |x|.
b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

"
+ x yey dxdy
3
x+1

7. *) [dla chętnych] Obliczyć , gdzie ob-
Ä„2 3
3
2[3 (Ä„ + 1)2 + - 3 (arc sin y + 1)2 - (arc sin y)2]
D 2 4
szar D jest ograniczony krzyw¸
a
Ä„
y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x = .
2