Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, IBM gr.1-3 i EiT gr. 8-9, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć

(x + 2y - 1)dl
L
gdzie L jest odcinkiem między punktami A(1, 2, -1) i B(2, 3, 0).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

(x + y)dx + xydy,
K
gdzie K jest brzegiem obszaru opisanego nierównościami x2 + y2 4, x 0 i y 0
skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka

cos 4ydx - 4x sin 4ydy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
Ä„ Ä„
gładkim skierowanym od punktu A(1, ) do punktu B(2, ).
6 4
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z3-2i = 0. Rozwiązania równania
zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi z1 · z2 = z1 ·z2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

dz
,
z2(z + 2i)
C
gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 1 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę

(x + y + z)dS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + y + z = 1, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny XOZ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = (z + i)2 - .
z