Kolokwium końcowe z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM gr. 1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe

w = 2(x + y), 2x + 3y2

jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć jego potencjał.
2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
" "

2n - 1 n25n
a) " b)
5n2 - n + 2 3n+1
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów zbieżnych, z których jeden jest zbieżny bezwzględ-
nie, a drugi warunkowo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znalez
ć sumę szeregu potęgowego
"

(n + 1)xn
3n
n=0
[2p.] b) Podać określenie promienia zbieżności szeregu potęgowego. Wyznaczyć jego war-
tość dla przykładu w punkcie a) tego zadania.
x
4. [4p.] Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności
3 + x
otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Funkcja f(x) = 3 - x dla x " [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny
Fouriera postaci

"

3 6(1 - (-1)n) nĄx
+ cos .
2 Ą2n2 3
n=1
"

1-(-1)n
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
n2
n=1
6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 9y = -et
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a oryginału f(t) = t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania
y + 2xy = 2x3, y(0) = 1