Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej II
WETI, IBM, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = 4z i x2 + y2 = z2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.

2. [4p.] Obliczyć xydx - y2dy, gdzie K jest łukiem krzywej o równaniu x2 + y2 = 4x od
K
punktu A(2, 2) do punktu B(4, 0).
3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

(x + 3y)dx - (x - y)dy
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywą o równaniu
y = x2 - 4 i prostą przechodzącą przez punkty A(-2, 0) i B(3, 5). Wykonać odpowiedni
rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Obliczyć (x + y + z)dS, gdzie S jest trójkątem o wierzchołkach A(2a, 0, 0),
S
B(0, 2a, 0), C(0, 0, 2a), dla a > 0.

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole W = e2y + (2xe2y - 3y) jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć
i j
jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że
grad(ÕÈ) = Õ gradÈ + È gradÕ
gdzie Õ , È sÄ… różniczkowalnymi polami skalarnymi.
6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
3
" "

n4 - 1 (2n)!
a) b)
3n2 - n + 1 2nn2n
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia warunek
konieczny zbieżności, a drugi go nie spełnia. Odpowiedz
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu

"

1
ln 1 -
n2
n=2