Kolokwium poprawkowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [7p.] a) Obliczyć całkę


z x2 + y2 dxdydz
V
gdzie bryła V ograniczona jest powierzchniami x2+y2-2z = 0, x2+y2+z2 = 3 i płaszczyznami
ukÅ‚adu współrz¸ dla x 0, y 0, z 0.
ednych
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) Obliczyć całkę zdydz + (3y - x)dxdz - zdxdy, gdzie S jest zewnętrzną stroną
S
powierzchni bryły ograniczonej powierzchniami x2 + y2 = 1, z = x2 + y2 + 2 i z = 0. Wykonać
odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOY .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Uzasadnić, że całka

2(xe-y - 1)dx + (ey - x2e-y)dy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem gładkim
skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(2, 0).
4. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y + xy = xy3 spełniającą warunek początkowy
y(0) = 2.

x y y 1
" "
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie różniczkowe - dx + + dy = 0
x2 + y2 x2 x2 + y2 x
jest zupełne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału
zbieżności szeregu potęgowego
"

(-3)n(x + 2)n
"
n
n=1
"
1
[2p.] b) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu liczbowego .
n2 + 4n + 3
n=1
6. [7p.] Rozwinąć funkcję f(x) = arctg 2x w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności otrzyma-
nego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + y = e-x
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych y(0) = 1, y (0) = 0.
Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace a.