Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3XT · B)T = A - 2X, gdzie

1 2 1 1
A = , BT =
0 2 1 0
2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika
i sprawdzić, czy


1 0 1 -1


2 1 -1 2

= -44
-1 2 1 3



3 -1 4 0
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) W zależności od parametru  podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + 4y + z = 0
òÅ‚
x + 2y + z = 0
ôÅ‚
ół
x + y + z = 0
W przypadku nieskończenie wielu rozwiązań podać liczbę parametrów, od których zależą te
rozwiÄ…zania.
[2p.] b) Podać po jednym przykÅ‚adzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 3, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.
4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x - 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).
Znalez
ć:
a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Znalez
ć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = ex cos y + y
[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyz
nie zespolonej równanie z3 + 8i = 0. Wyniki przedstawić w
postaci algebraicznej.
6. [4p.] Znalez
ć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace a
s2 + 7s + 10
F (s) =
s3 + 2s2 + 5s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć iloczyn skalarny wektorów i b jeżeli = 3 - 2 b = p - 5
a a p q, q,
natomiast p i są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.
q