Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone

dx
a) b) sin x ln(tg x)dx
2(1 + sin x) - cos x
2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
Å„Å‚
ôÅ‚ 0, x < -1
òÅ‚
f(x) = 1 - x2, -1 x 0
ôÅ‚
ół
Ä„-x, x > 0
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = x cos spełnia równanie
x
x2zxx + 2xyzxy + y2zyy = 0
4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 3 - x2 - 2y2 w obszarze
określonym nierównościami x 0, y 0 i x + y 1.
xy
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) = w punkcie (0, 0).
2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. .+.y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
5. [4p.] Obliczyć całkę

x2
dxdy
y2
D
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą xy = 1 i prostymi y = x, x = 2. Wykonać
odpowiedni rysunek.
6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

9z = x2 + y2 i z = 36 - x2 - y2
znajdujÄ…cej siÄ™ wewnÄ…trz tych powierzchni.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w całce
iterowanej
"
2 2- 4-(x-2)2

dx f(x, y) dy
0
-x2