Egzamin końcowy z przedmiotu Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
Å„Å‚
ôÅ‚ |x| dla x " -1, 1
òÅ‚
f(x) =
1
ôÅ‚
ół
dla pozostałych x
x2
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) W zależności od parametru podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z = 1
òÅ‚
2x + y + z =
ôÅ‚
ół
x + y + z = 2
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej górnej i macierzy diagonalnej stopnia
n 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znalezć punkt symetryczny do punktu A(1, -2, 0) względem płaszczyzny o równaniu
2x - y + 3z - 1 = 0.
[2p.] b)Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów kolinearnych i koplanarnych
w R3.
4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f(z), jeśli dana jest jej część rzeczywista
x
u(x, y) = - 2x
x2 + y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = ex-y(y2 - 2x2).
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji
x2 - y2
lim
(x,y)(0,0)
(x + y)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. [4p.] Obliczyć
cos x2 + y2dxdy
D
Ä„2
gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x2 + y2 Ą2, x2 + y2 i y |x| . Wykonać
4
odpowiedni rysunek.
7. *) [dla chętnych] [3p.] Rozwiązać w płaszczyznie zespolonej równanie z3 + ki = 0, gdzie
" 12
3 - i
k =
2