Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi y = x2, 2y = x2 i prostą y = 2x.
2. [4p.] a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 3) i B(3, 1, 2)
oraz równoległej do wektora = [-1, 1, 4].
a
[2p.] b)Podać i pokazać na przykładach cztery wybrane własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć macierz Y z równania AY = B - 3Y , gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 -1 3

ïÅ‚ śł
A = 1 1 5 , BT = 1 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
3 -2 1
4. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x3 + 3xy2 - 30x - 18y.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

(5, 98)2 + (8, 01)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


x
5. [4p.] Obliczyć arcctg dxdy, gdzie obszar D = {(x, y) : y x '" 1 x2 + y2 4}.
y
D
6. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami x2 + y2 + z2 = 2z (z 1) i
"
z = x2 + y2. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Pokazać, że nie istnieje granica funkcji
x2 - y2
lim
(x,y)(0,0)
x2 + y2
8. *) [poprawkowe] [7p.] Wyznaczyć asymptoty, przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty
ln 2x
przegięcia funkcji f(x) = .
x