Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
Å„Å‚
ôÅ‚ 0, x < -2
òÅ‚
h(x) = 2 - |x|, -2 x 1
ôÅ‚
ół
21-x, x > 1
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) Dla jakich wartości parametru a układ równań
Å„Å‚
a2x + 3y + 2z = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
ax - y + 4z = 0
ôÅ‚ - 1)x + 3y - 6z = 0
a(a
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y + 4z = 0
posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znalez
ć punkt symetryczny do punktu A(1, -2, 0) względem prostej o równaniu
x - 1 y - 2 z - 3
= =
2 4 5
[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
Å‚ych w R3.
4. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

zeĄz
dz
(z4 - 81)2
C
gdzie C jest krzywą opisaną równaniem |z + 3| = 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1
5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja f(x, y) = x2 + xy + y2 + + , x = 0 i y = 0, ma w punktach

x y
" "
3 3
1 1
" "
P1( 3, 3), P2( , ) ekstrema lokalne. Jeśli tak, to określić ich rodzaj.
3 3
3 3
[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.


6. [4p.] Obliczyć 1 - x2 - y2dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x2+y2-x 0
D
i y 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować na płaszczyżnie zespolonej zbiór punktów spełniających
warunek
îÅ‚
" 12Å‚Å‚
3 1
ðÅ‚ ûÅ‚
|1 - iz| Re - i
2 2