Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR gr. 1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe

y
w = - 3x2, arctgx

1 + x2
jest potencjalne. Jeśli tak, znalez
ć jego potencjał.
2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
2
" "

n2 - n + 3 9nnn
a) b)
2
2n3 + n2 - e (n + 2)n
n=1 n=1
[2p.] c) Korzystając z definicji zbieżności szeregu wyznaczyć sumę szeregu liczbowego
"

1
n2 + 4n + 3
n=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znalez
ć sumę szeregu potęgowego
"

(-1)nn
xn
2n
n=1
[2p.] b) Podać określenie promienia zbieżności szeregu potęgowego. Wyznaczyć jego war-
tość dla przykładu w punkcie a) tego zadania.
1 + x
4. [4p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 = 2.
1 - x
Podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Funkcja f(x) = x(Ą-x) dla x " [0, Ą] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny
Fouriera postaci
"

8 sin(2n - 1)x
Ą (2n - 1)3
n=1
"

(-1)n-1
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
(2n-1)3
n=1
6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 2y + y = e-2t
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 1, y (0) = 1.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a oryginału f(t) = tn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania

Ą
y + y ctg x = 2 cos x, y = 3
2