Kolokwium końcowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału
zbieżności szeregu potęgowego
"

(x - 3)n
(-1)n+1
n5n
n=1
[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ". Odpowiedz

uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.
2. [4p.] Znalez
ć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
"

xn
(n + 2)5n
n=0
3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f(x) = 2x ln(5 + x) w szereg Maclaurina. Podać przedział
zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych cosinusów (bez wyznaczania go).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Rozwiązać równanie

y3dy + 3y2x + 2x3 dx = 0
"
przy zadanym warunku początkowym y(1) = 3.
1
5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y + y cos x = sin 2x spełniającą warunek
2
początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i opisać
sposób jego rozwiązywania.
6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 2(xe-y-1)dx+(ey - x2e-y) dy = 0 jest zupełne
i wyznaczyć jego całkę ogólną.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y - 2y + 2y = sin x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace a.