Kolokwium końcowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek IBM gr. 1-3, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału
zbieżności szeregu potęgowego
"

(-x)n
"
5n-1 n
n=1
[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ". Odpowiedz

uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.
2. [4p.] Znalez
ć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
"

n + 1
xn
7n
n=0
2x - 1
3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina. Podać przedział
x2 - 2x - 3
zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych cosinusów (bez wyznaczania go).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Rozwiązać równanie
y y y
y sin = sin + 1
x x x
przy zadanym warunku początkowym y(1) = 0.
x
5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y + y = x spełniającą warunek
1 + x2
1
początkowy y(0) = .
3
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i opisać
sposób jego rozwiązywania.
6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 3x2eydx + (x3ey - 1) dy = 0 jest zupełne i
wyznaczyć jego całkę ogólną.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y - 3y + 2y = e3x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 1, y (0) = 0.
Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace a.