Zaliczenie poprawkowe z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Uzasadnić, że całka

2xydx + (x2 - y2)dy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(0, 1) do punktu B(2, 1).
2. [7p.] a) Obliczyć całkę

(x + y + z)dS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + y + z = 3, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) W oparciu o definicję wyznaczyć gradient dowolnie wybranego pola skalarnego
okreÅ›lonego w pewnym obszarze V ‚" R3.
3. [7p.] a) Wyznaczyć funkcję holomorficzną f(z), jeśli dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = 2xy + 3x
"
3
[2p.] b) Wyznaczyć -i. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów:
" "

(-1)n n2
a) b)
2n + 1 n!
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów zbieżnych, z których jeden jest zbieżny bezwzględ-
nie, a drugi warunkowo.
x
5. [7p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln(5 - x) w szereg Maclaurina. Określić przedział zbież-
2
ności otrzymanego szeregu.
6. [7p.] Stosując transformatę Laplace a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 4y = e-t
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych y(0) = 0, y (0) = 0.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a oryginału f(t) = t2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania
y
y + = ex, y (-1) = e-1
x