Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami
x2 + y2 3z i x2 + y2 z2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne walcowe.
2. [8p.] a) Obliczyć całkę

ex (1 - cos y) dx - ex (1 - sin y) dy
K
gdzie K jest brzegiem obszaru określonego nierównościami 0 x Ą i 0 y sin x
zorientowanym dodatnio.
[2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe

1 y x x xy

W = 1 - + i + + j - k
y z z y2 z2
jest potencjalne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Rozwiązać równanie 3xy - y = 3xy4 ln x.
[2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie
x + y
xy - y = (x + y) ln
x
do równania o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedz
uzasadnij odpowiednimi przekształceniami.
4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y - 3y + 2y = xex
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y (0) = 1.
[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n 4, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj
"
2
n
" "

n (-1)n 1
a) b) 1 +
2

"
3n n
n=1 n=1
n + n n
"

n
[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu ln .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1 . . .(n.+.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
"

(n + 1)xn
Ąn
n=0