Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, AiR gr.1-5, 2 sem., r. ak. 2009/2010


1. [4p.] Obliczyć całkę x2 + y2 + z2 dxdydz, gdzie
V
V = {(x, y, z) " R3 : x2 + y2 + z2 - y 0}
Wykonać odpowiedni rysunek.
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
4x2 + 9y2 = 36z2, 4x2 + 9y2 = 36
i płaszczyzną z = 0, dla z 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

xye-2xdx + e-xy2dy,
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = ex
i y = e2x oraz prostą x = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek powierzchniowych
niezorientowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka

2y sin 2xdx - cos 2xdy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(Ą , 1) do punktu B(Ą , 2).
6 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę x2dydz + y2dxdz + z2dxdy, gdzie S jest częścią powierzchni
S
1
z = -x2-y2 leżącą w I oktancie układu współrzędnych i zorientowaną tak, że cos ł > 0.
4
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.
6. [4p.] Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego
x

W = (x3 + 2xy + z2) + j + (sin x + ln z)
i k
yz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

xzdydz + xydxdz + yzdxdy
S
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczonej powierzchnią x2 + y2 = R2 i
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = k.