Kolokwium połówkowe z  Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, EiT gr.1-7, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć

ydx + xe-2ydy,
L
gdzie L jest łukiem opisanym równaniem y = ln x skierowanym od punktu A(1, 0) do
punktu B(e, 1).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

2ydx + (y - x)dy,
K
gdzie K jest brzegiem obszaru opisanego nierównościami x2 + y2 25 i y 0 skierowa-
nym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka

yexydx + xexydy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, -1) do punktu B(2, 4).
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z4 - z3 + z - 1 = 0. Rozwiązania
równania zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi z1 · z2 = z1 ·z2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

sin(Ä„z )dz
2
,
z2 - 1
C
gdzie C jest okręgiem |z - 1| = 1 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę

(6x + 4y + 3z)dS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny XOY .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = + (i - z)2.
z