Dodatkowe kolokwium poprawkowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = z2 i x2 + y2 = 2y
dla x 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
2. [7p.] Uzasadnić, że całka

3y sin 3xdx - cos 3xdy
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem gładkim
skierowanym od punktu A(Ą , 1) do punktu B(Ą , 2).
6 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

x3dydz + y3dxdz + z3dxdy
S
gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni o równaniu x2 + y2 + z2 = Ą2. Wykonać odpowiedni
rysunek.
x
[2p.] b) Wyznaczyć gradient funkcji skalarnej F (x, y, z) = z - arctg .
y
4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
" "

2n3 + n - 1 5n(n!)2
a) b)
3n3 + 2n - 3 (2n)!
n=1 n=1
"
1
[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu liczbowego .
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1.n. .+.3n.+. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
5. [7p.] Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału
zbieżności szeregu potęgowego
"

(-2)n(x - 1)n
"
n3
n=1
6. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y + y tg x = sin 2x spełniającą warunek począt-
kowy y(Ą) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 2 (xe-y - 1) dx-(ey - x2e-y) dy = 0 jest zupełne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y - 2y + 2y = sin x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace a.