Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej - termin dodatkowy
WETI, EiT i AiR, 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. a) Obliczyć granice

x-3
22n+1 + (-3)n
x
x2
lim lim arcctg log1 lim e
n-" 2 - x|
|1
22n + Ąn x-1- x-0+
b) Określić w interpretacji geometrycznej rodzaje punktów nieciągłości.
2. a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = ln2 x - 2 ln x w przedziale
x " [1, 7].
b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = tg x.
3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
1
dx 1
a) b) arctg x dx
sin x(2 - sin x)(cos x + 1) x2
0
4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = 1 - |x| i y = x2 - 1.
Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-

f (x) dx

wadzić wzór na całkę dx.
f(x)
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
" "

(n + 1)n (-1)n(2n - 1)
a) b)
3n(n - 1)! 3n2 + 1
n=1 n=1
c) Korzystając z warunku koniecznego zbieżności pokazać, że szereg
"

n + 1
arc sin
2n + 3
n=1
jest rozbieżny.
"

5nxn+1
6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu oraz znalez
ć jego sumę w tym przedziale.
n + 1
n=0
3
2
7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (cos x)(ln x)x .