Egzamin końcowy z analizy matematycznej
WETI, AiR + EiT, 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. Obliczyć całki nieoznaczone
2

1 + cos x ln x
a) dx b) dx
(cos x + sin x + 2) sin2 x x
2. a) Obliczyć całkę oznaczoną
1
dx
" "
4
2x + 2 + 2x + 2
0
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-

wadzić wzór na caÅ‚kÄ™ fn(x) · f (x) dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Zbadać zbieżność całki
+"

dx
ex + e-x
-"
4. a) Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX wykresu funkcji

2x, x 0
f(x) =
-x2 + 1, x > 0
dla x " (-", 1]. Wykonać rysunek.
b) Omówić 2 przykłady (inne niż w punkcie a) tego zadania) zastosowań geometrycznych całek
oznaczonych (wykonać rysunki i podać odpowiednie wzory).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
" "

(n!)23n 2n2 - n + sin(n!)
"
a) (-1)n b)
(2n + 1)!
n5 + 3n2 - 1
n=1 n=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"

xn
6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
(n + 1)5n oraz znalez
ć jego sumę w tym prze-
n=0
dziale.
"

(-1)n+1
"
b) Wyznaczyć wartości parametru ą, dla których szereg jest zbieżny bezwzględnie.
4
Ä…
n=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji ex w szereg Maclaurina obliczyć całkę

e-x - 1
dx
x
Wynik zostawić w postaci szeregu.