Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
WETI, AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-9), 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. a) Obliczyć granice

n2

2
sin 2|x + 3|
3n2 + 1 x
lim lim ln arcctg lim
n-"
3n2 - 5 x-2- (2 - x)3 x--3- 9 - x2
b) Określić w interpretacji geometrycznej rodzaje punktów nieciągłości.
1
2. a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x) = ln(x2 - 1) + .
x2-1
b) Na podstawie definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
1
dx
a) b) x2 ln(2x)dx
sin x(2 - sin x)(cos x + 1)
0
4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = 1 - |x| i y = x2 - 1.
Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić

wzór rekurencyjny na całkę xnexdx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
" "

(n - 1)!(n + 2)! (-1)n(2n - 1)
a) Ą2n b)
(2n)! 3n2 + 1
n=1 n=1
"

1
c) Korzystając z definicji zbieżności szeregu wyznaczyć jego sumę.
n2+n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
"

3nxn
6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu oraz znalez
ć jego sumę w tym przedziale.
n + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
2
7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (ln x)(sin 2x)x .