Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
WETI, EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. a) Obliczyć granice

x-3
22n+1 + (-3)n
x
x2
lim lim arcctg log1 lim e
n-" 2 - x|
|1
22n + Ąn x-1- x-0+
b) Podać dowolne dwa przykłady ciągów monotonicznych różnych typów monotoniczności i
określić ich rodzaj.
2. a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = ln2 x - 2 ln x w przedziale
x " [1, 7].
b) Na podstawie twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych wyprowadzić wzór
na pochodną funkcji y = ctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
1
ctg x dx 1
a) b) arctg x dx
sin x + cos x - 1 x2
0
"
4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = e-x, y = e3x i y = e.
Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-

f (x) dx

wadzić wzór na całkę dx.
f(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
" "

(n + 1)n (-1)n+1
"
a) b)
3
3n(n - 1)!
n2 + 1
n=1 n=1
c) Korzystając z warunku koniecznego zbieżności pokazać, że szereg
"

n + 1
arc sin
2n + 3
n=1
jest rozbieżny.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"

6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu (n+3)5nxn oraz znalez
ć jego sumę w tym przedziale.
n=0
3
2
7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (cos 3x)(ln x)x .